home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ HPAVC / HPAVC CD-ROM.iso / pc / EARTHQUA.ZIP / DOC / EQDAMAGE.TEX next >
Encoding:
Text File  |  1994-03-08  |  14.8 KB  |  341 lines

  1. \magnification\magstep1
  2. \baselineskip 15pt
  3. \parskip 0 pt 
  4.  
  5. \nopagenumbers
  6. \headline={\tenrm\hfil Koshelev$\ \ $\folio}
  7. \voffset=2\baselineskip
  8.  
  9. \parskip 8 pt plus 4 pt minus 4 pt
  10. \centerline{\bf EARTHQUAKE DAMAGE PREVENTION}
  11.  
  12. \medskip
  13. \centerline{\bf 1. Introduction}
  14.  
  15. The goal of this project is to compare several methods of earthquake
  16. damage prevention. In order to compare them, I simulated the effects of
  17. an earthquake on a building with different earthquake damage prevention
  18. methods. 
  19.  
  20. \noindent{This project consists of two programs:}
  21.  
  22. \parskip 0 pt
  23. \item{$\bullet$} A program that simulates an earthquake
  24.  
  25. \item{$\bullet$} A program that simulates how a building moves during an
  26. earthquake. 
  27. \parskip 8 pt plus 4 pt minus 4pt
  28.  
  29. \medskip
  30. \centerline{\bf 2. Description of the earthquake simulator program}
  31.  
  32. \medskip
  33. \centerline{\bf 2.1 General Idea}
  34.  
  35. The main problem with earthquakes is that they are very unpredictable.
  36. There is no known formula to describe an earthquake. Therefore, we
  37. cannot simulate an earthquake by simply programming in a known formula
  38. with a regular, predictable behavior.
  39.  
  40. Irregular, unpredictable phenomena are very common: weather, the
  41. economy, etc. To simulate these phenomena Professor Mandlebrot of Yale
  42. University invented fractals. Here is a description of what a fractals are.
  43.  
  44. \centerline{\bf 2.2 Fractals}
  45.  
  46. The word {\it fractal} comes from the word fraction, and it means a set of
  47. points, whose dimension is not a whole number. Let's describe what a
  48. dimension is.
  49.  
  50. From the physical viewpoint, a dimension sort of describes how ``big'' a
  51. set is. For example: pasta can be in different shapes: it can be long
  52. and thin (one-dimensional) in spaghetti, it can be thin and
  53. two-dimensional as in fettucini, and it can be three-dimensional as in
  54. thick pasta shells. If their sizes are equal, then there is more dough
  55. in shells than in fettucini, and there is more dough in fettucini than
  56. in spaghetti.
  57.  
  58. To describe how to find which sets have more elements and which sets
  59. have less elements let's consider the following approach.
  60.  
  61. We have a set. To describe how many elements are in this set we pick a
  62. distance $D$ and ask a fast food company, for example Subway, to build
  63. its restaurants so that wherever you are in that set the nearest Subway
  64. will be no farther than $D$ yds. The company wants to save money and
  65. therefore, it wants to build as few Subways as possible. The more
  66. restaurants are needed, the bigger is the set.
  67.  
  68. First let's consider a one-dimensional case: We want to build Subways on
  69. a road whose length is $L$. The Subways must serve all of the points
  70. including the endpoints. Therefore there must be a Subway at a distance
  71. not farther than $D$ yds from each endpoint. It makes no sense to build
  72. it closer than $D$ yds from the endpoint because then we would lose
  73. money. Therefore, we build the first Subway $D$ yds from the endpoint.
  74.  
  75. This Subway serves the area from the endpoint to $2D$ yds The second
  76. one must be at the distance $D$ from the first point not covered by the
  77. first Subway, i.e. at a distance of $2D + D = 3D$ yds from the endpoint.
  78. And so on.
  79.  
  80. Here is how to find out how many Subways we need. Every Subway serves
  81. and area of $2D$ yds in length. The total length is $L$. Therefore, the
  82. total number $N$ of Subways is $$N \approx {L \over 2D}.$$
  83.  
  84. Now let's say that we have a two dimensional set, and the company is
  85. trying to build Subways with the same condition as in the previous
  86. example. In a one-dimensional set the area served by each Subway
  87. is a line segment, in a two-dimensional set it is a circle. So now the
  88. number of Subways would be the area $A$ of the set divided by the area
  89. of each circle, i.e. by $\pi D^2$: $$N \approx {A \over \pi D^2}.$$
  90.  
  91. Now let's assume the set is three-dimensional and the
  92. conditions are still the same. Now the area served by each Subway
  93. is a sphere. So the number of Subways would be the volume $V$ of the
  94. set divided by the volume of each sphere, i.e. by $(4/3) \pi D^3$:
  95. $$N \approx {V \over (4/3) \pi D^3}.$$
  96.  
  97. If we look at these three cases, we see a pattern. In the 1-D case, $N
  98. \sim c/D^1$ for a constant $c$ ($c = L/2$); In the 2-D case, $N \sim
  99. c/D^2$; In the 3-D case, $N \sim c/D^3$. In all three cases, the
  100. exponent is the same as the dimension. So in a general case the
  101. dimension is defined as follows: If for a set, $N \sim c/D^\alpha$, then
  102. $\alpha$ is the dimension. Sets for which $\alpha$ is a fraction are
  103. called fractals.
  104.  
  105. \medskip
  106. \centerline{\bf 2.3 Waves}
  107.  
  108. A wave is a real-life pattern that repeats itself again and again. Waves have
  109. several characteristics that describe them. One is
  110. amplitude which is the distance from the middle of the wave to the crest
  111. (the top) of the wave. Another one is frequency, which is the number of
  112. repetitive segments in a second. And the last one is phase,
  113. which is how far the initial position of the wave is from the middle.
  114.  
  115. Light from any source can be separated into several basic colors, as in a
  116. prism. Any sound can be simulated by a piano. This means that the sound
  117. can be played as a chord, and thus, it can be separated into several
  118. different sounds. Light and sound are waves. They can be separated into several
  119. monochromatic waves, or waves with a constant amplitude, frequency and phase.
  120.  
  121. If you get the sine of several increasing numbers and you graph the
  122. results you will see that the graph is a monochromatic wave. Therefore the sine
  123. function is used to make monochromatic waves. If we have a time $t$, an 
  124. amplitude $A$, a frequency $\omega$, and a phase $\phi$ of a point on a 
  125. monochromatic wave, then that point is: $$A \sin (\omega t + \phi).$$ 
  126.  
  127. A wave consists of several monochromatic waves. To make a wave out of
  128. several monochromatic waves you simply add the monochromatic waves
  129. together If you have a time $t$, a
  130. set of amplitudes $A_n$, a set of frequencies $\omega_n$, and a set of
  131. phases $\phi_n$ of a point on $N$ monochromatic waves, then the wave can
  132. be figured out like this: $$\sum_{n=0}^N A_n \sin (\omega_n t + \phi_n).$$
  133.  
  134. \medskip
  135. \centerline{\bf 2.4 The earthquake simulation}
  136.  
  137. It is known that earthquake can be described by fractals. It is also
  138. known that when we represent a fractal as a sum of monochromatic waves,
  139. then the amplitude decreases with frequency $\omega$ approximately as:
  140. $$A \approx {I \over \omega^\alpha}$$ for constants $I$ and $\alpha >
  141. 0$. So to simulate a random process, we take: $$A(\omega_n) = R_n \cdot {I
  142. \over \omega_n^\alpha},$$ where $R_n$ is a random number simulated by the
  143. computer's random number generator, and we also take a random phase. The
  144. random phase $\phi_n$ goes from $0$ to $2 \pi$ (360 degrees in radians).
  145.  
  146. So the earthquake simulation runs as follows:
  147.  
  148. We fix a value $\Delta\omega$, and choose $\omega_n = n \Delta\omega$
  149. (i.e., $\omega_0 = 0, \omega_1 = \Delta\omega, \ldots$). Then we make
  150. two random sequences: $R_0, \ldots , R_n$, and $\phi_0, \ldots, \phi_n$.
  151. To generate the earthquake force at time $t$, with $N$ monochromatic
  152. waves, we will use the following
  153. formula: $$f_{external}(t) = \sum_{n=0}^N A(\omega_n) \sin (\omega_n t +
  154. \phi_n).$$
  155.  
  156. \medskip
  157. \centerline{\bf 3. Description of the building movement program}
  158.  
  159. \centerline{\bf 3.1 General Idea}
  160.  
  161. In order to simulate the effect of different controls on the building,
  162. we use Newton's second law. According to this law, $$f(t) = Ma(t),$$
  163. where $f(t)$ is a force, and $a(t)$ is an acceleration. From this
  164. formula we can derive the formula for acceleration: $$a(t) = {f(t) \over
  165. M}$$ 
  166.  
  167. \noindent To use this formula we need to know two things:
  168.  
  169. \parskip 0 pt
  170.  
  171. \item{$\bullet$} How force depends on time.
  172.  
  173. \item{$\bullet$} How to simulate the motion if we know the acceleration.
  174.  
  175. \parskip 8pt plus 4pt minus 4pt
  176.  
  177. \medskip
  178. \centerline{\bf 3.2 How does force depend on time? }
  179.  
  180. \noindent Force that acts on any object consists of the following components:
  181.  
  182. \parskip 0pt
  183.  
  184. \item{$\bullet$} External forces that make it move in the first place.
  185.  
  186. \item{$\bullet$} Elastic force, this is most visible in a rubber band.
  187. This force tries to return the object to its initial position. The
  188. farther we bend the object, the stronger is the elastic force. Therefore
  189. it is natural to assume that this force is proportional to the
  190. displacement: $f_{elastic}(t) = -kx(t)$, where $k$ is a coefficient.
  191.  
  192. \item{$\bullet$} Friction force, that slows down all of the movement.
  193. The faster the movement the bigger the friction force. Therefore it is
  194. natural to assume that this force is proportional to the velocity:
  195. $f_{friction}(t) = -nv(t)$, where $n$ is a coefficient.
  196.  
  197. \noindent In out case, the external force consists of two components:
  198.  
  199. \item{$\bullet$} The earthquake force.
  200.  
  201. \item{$\bullet$} The control force. We will consider three cases.
  202.  
  203. \itemitem{$\bullet$} No control, i.e. $f_{control}(t) = 0$.
  204.  
  205. \itemitem{$\bullet$} Active control. The main idea of active control is
  206. that if the earthquake pulls the building in one direction active
  207. control must pull it in the other direction. The ideal active control
  208. is: $f_{control}(t) = -hx(t)$, but we can't do it like that because the
  209. earthquake is very fast and the machine can't react immediately.
  210. Therefore there is a delay $T$: $f_{control}(t) = -hx(t - T)$.
  211.  
  212. \itemitem{$\bullet$} Hybrid control. The main idea of hybrid control is
  213. this: there is an extra beam in the building that is not attached to
  214. anything on one end. When the building moves more than a certain limit $a$,
  215. the beam connects itself to the building. It acts as an extra elastic
  216. force. Therefore the formula is as follows: if $x(t - T) < a$ then
  217. $f_{control}(t) = 0$ else $f_{control}(t) = -hx(t)$ where $a$ is a
  218. coefficient.
  219.  
  220. \parskip 8pt plus 4pt minus 4pt
  221.  
  222. \noindent As a result we get the following formula for force: $$f(t) =
  223. f_{external}(t) + f_{elastic}(t) + f_{friction}(t) + f_{control}(t).$$
  224.  
  225. \medskip
  226. \centerline{\bf 3.3 How to simulate the motion if we know the
  227. acceleration.}
  228.  
  229. By definition, velocity is distance over time. If we simulate the
  230. movement every $\Delta t$ seconds, then time is $\Delta t$. Distance is
  231. the difference between the position of the building in the consequent
  232. moments of time $t$ and $t + \Delta t$, i.e. distance is $x(t + \Delta
  233. t) - x(t)$. Therefore the velocity is $$v(t) = {x(t + \Delta t) - x(t)
  234. \over \Delta t}$$. Let's use this formula to find the position at the
  235. next point in time based on the position at the current point at time.
  236. By using Cross Products we derive the following formula: $v(t) \cdot \Delta
  237. t = x(t + \Delta t) - x(t)$. Moving $x(t)$ to the other side we get:
  238. $$x(t + \Delta t) = v(t) \cdot \Delta t + x(t).$$
  239.  
  240. Similarly, acceleration $a(t)$ is defined as velocity over time, i.e.
  241. $$a(t) = {v(t + \Delta t) - v(t) \over \Delta t}.$$ Using the same
  242. method as in the previous derivation we get the following: $$v(t +
  243. \Delta t) = a(t) \cdot \Delta t + v(t).$$
  244.  
  245. So the algorithm for simulating $x(t)$ is as follows: We start at the
  246. moment $t=0$. We set $x(t) = 0$ and $v(t) = 0$. To get the coordinate
  247. and the velocity at the next moment in time we use the following
  248. formulas: $$x(t + \Delta t) = v(t) \cdot \Delta t + x(t),$$ $$v(t + \Delta t)
  249. = a(t) \cdot \Delta t + v(t),$$ where $$a(t) = {f(t) \over M}$$ and $$f(t) =
  250. f_{external}(t) + f_{elastic}(t) + f_{friction}(t) + f_{control}(t).$$
  251.  
  252. \centerline{\bf 3.4 How to compute energy}
  253.  
  254. Hybrid control does not use any energy. Active control basically eats
  255. up lots of energy because it moves the building. Here is how to
  256. calculate the energy used.
  257.  
  258. The bigger the force we apply, the more energy we use. Therefore, it is
  259. reasonable to assume that the energy is proportional to force. But if we
  260. don't move anything then we don't use any energy. The more we move the
  261. building, the more energy we use. So the energy is also proportional to
  262. the displacement $\Delta x(t) = x(t + \Delta t) - x(t).$ Therefore $e(t)
  263. = f(t) \cdot \Delta x(t).$ To derive how much energy we use altogether we
  264. use the following formula: $$E = \sum_{t = 0}^T e(t).$$
  265.  
  266. \centerline{\bf 4. The Results}
  267.  
  268. \centerline{\bf 4.1 Conclusion}
  269.  
  270. I used the following algorithms for earthquake intensities $0.1$ to
  271. $9.9$ on the Richter scale to find out the maximum movement, total
  272. movements, and total energy used for no control, active control and
  273. hybrid control. 
  274.  
  275. Active control got the smallest total movements on intensities $0.1$ thru
  276. $0.9$. Hybrid control got the smallest total movements on the rest of the
  277. intensities. So basicaly hybrid control won because earthquakes with
  278. intensities so small do not cause almost any damage. 
  279.  
  280. Active control got the smallest maximum movement on intensities $0.1$
  281. thru $1.9$. Hybrid control got the smallest maximum movement on the
  282. rest of the intensities. So bascially hybrid control won for the same
  283. reason as with the total movements.
  284.  
  285. And of course hybrid control and no control won the total energy used
  286. because they do not use any energy and active control uses a lot. 
  287.  
  288. My conclusion is that hybrid control is the best earthquake damage
  289. prevention method. 
  290.  
  291. \vfill\eject
  292.  
  293. \centerline{\bf Reference List}
  294.  
  295. \noindent{}Andrews, D.J. ``A Stochastic Fault Model 1. Static Case.''
  296. Journal of Geophysical Research  Jul. 10, 1980: 3867--3877.
  297.  
  298. \noindent{}Andrews, D.J. ``A Stochastic Fault Model 2. Time-Dependent
  299. Case.'' Journal of Geouphysical Research  Nov. 10, 1981: 10821--10834
  300.  
  301. \noindent{}Ingard, K. Uno. Fundamentals of waves \& oscillations.
  302. Cambridge, New York: Cambridge University Press, 1988.
  303.  
  304. \noindent{}Kagan, Y. Y. and Knopoff, L. ``Spatial distribution of
  305. earthquakes: the two-point correlation function.'' Geophysical Journal
  306. of the Royal Astronomical Society  Vol. 62, 1980: 303--320.
  307.  
  308. \noindent{}Kagan, Yan and Knopoff, Leon. ``Statistical study of
  309. occuurrence of shallow earthquakes.'' Geophysical Journal of the Royal
  310. Astronomical Society  Vol. 55, 1978: 67--86.
  311.  
  312. \noindent{}Kagan, Y. Y. and Knopoff, L. ``Stochastic Synthesis of
  313. Earthquake Catalogs.''  Journal of Geophysical Research  April 10,
  314. 1981: 2853--2862.
  315.  
  316. \noindent{}Mandlebrot, Benoit B. The Fractal Geometry of Nature. New
  317. York, NY: W.H. FREEMAN AND COMPANY, NY, 1983.
  318.  
  319. \noindent{}Pierce, John. Almost all about waves. Cambridge, Mass.: MIT
  320. Press, Massachusets, 1974.
  321.  
  322. \noindent{}Wang, Y.P, et al. ``Development of Design Spectra for
  323. Actively Controlled Wall-Frame Buildings.''  Journal of Engineering
  324. Mechanics  June, 1992: 1201--1220
  325.  
  326. \noindent{}Yang, J.N, et al. ``Aseismic Hybrid Control of Nonlinear
  327. and Hysteretic Structures I.''  Journal of Engineering Mechanics
  328. July, 1992: 1423--1440.
  329.  
  330. \noindent{}Yang, J.N, et al. ``Aseismic Hybrid Control of Nonlinear
  331. and Hysteric Structures II.'' Journal of Engineering Mechanics  July,
  332. 1992: 1441--1456.
  333.  
  334. \noindent{}Yang, J.N, et al. ``Stable Controllers for Instantaneous
  335. Optimal Control.''  Journal of Engineering Mechanics  August, 1992: 1612--1630.
  336.  
  337. \bye
  338.  
  339.  
  340.  
  341.